Bidang Derajat Dua - Geometri Analitik Ruang

BIDANG DERAJAT DUA

 

>>> Klik disini Untuk Tonton langsung di Youtube <<<

>>> dan silahkan klik disini untuk mengunduh (download) file materinya <<<

A.  Bentuk Baku Transformasi Koordinat Persamaan Umum Bidang Derajat Dua

Sebelum berbicara lebih jauh alangkah baiknya jika kita tinjau terlebih dahulu translasi sumbu dan rotasi sumbu, walaupun untuk translasi sumbu sudah kita gunakan pada bab sebelumnya. Perhatikan gambar berikut :

Dari Gambar 1 tampak bahwa, jika sumbu koordinat digeser yaitu dengan menggeser titik O(0,0) ke titik O’(h,k) maka diperoleh sumbu koordinat yaitu x’y’, berlaku bahwa untuk setiap titik (x,y) : x = x’ + h, y = y’ + k . Selanjutnya dari Gambar 2 tampak bahwa sumbu koordinat diputar dengan sudut putar ∝ berlawanan arah dengan jarum jam dan diperoleh sumbu koordinat baru , berlaku bahwa untuk setiap (x, y) :

Selanjutnya akan dibahas lebih lanjut tentang persamaan umum derajat dua. Perhatikan persamaan umum derajat dua :

Pada pembicaraan bab sebelumnya, telah diketahui bahwa untuk mengenali bentuk persamaan umum berupa ellips, hiperbola, atau parabola dengan melihat nilai AC. Dengan bentuk yang paling umum ini, akan diselidiki ciri apa yang dipakai untuk mengenali bentuk-bentuk persamaan tersebut sekaligus membawa bentuk persamaan umum derajat dua menjadi bentuk yang paling sederhana.

Persamaan terakhir tidak memuat suku x' dan y' jika

  

Terlihat bahwa dua persamaan tersebut membentuk sistem persamaan linear dan akan mempunyai penyelesaian tunggal jika . Jika sumbu  x' y'  diputar dengan sudut putar ∝  maka akan terbentuk sistem koordinat baru  x" y" , sehingga persamaan menjadi:

Persamaan terakhir tidak memuat suku x" y" jika

Dengan memilih sudut sehingga persamaan tersebut dipenuhi maka persamaan di atas menjadi 

Dengan:

Oleh karena itu,

Dari persamaan,berupa:

a. Ellips jika A"C" > 0

b. Hiperbola jika A"C" < 0

c. Parabola A"C" = 0

Oleh karena itu, persamaan umum derajat dua berupa:

a.      Ellips jika 

b.     Hiperbola jika 

c.      Parabola jika 

Langkah-langkah untuk membawa bentuk persamaan umum derajat dua ke bentuk persamaan ellips, hiperbola, atau parabola paling sederhana yang telah dilakukan di atas dapat dibalik artinya dengan merotasi sumbu koordinat terlebih dahulu baru mentranslasi sumbu.

Selanjutnya, perhatikan contoh berikut:

1.     Sederhanakan persamaan umum derajad dua berikut :

Penyelesaian:

2.     Sederhanakan persamaan umum derajat dua berikut:

Penyelesaian :

B.  Bidang yang Dinyatakan Oleh Persamaan Bidang Derajat Dua

Jejak (trace) adalah suatu kurva yang terbentuk oleh perpotongan antara bidang-bidang koordinat dengan sebuah bidang lengkung (surfase). Sedangkan irisan (section) adalah suatu kurva yang terbentuk oleh perpotongan antara beberapa bidang datar dan suatu bidang lengkung.

Contoh:

·       Jejak (trace) grafik  pada bidang xy, merupakan parabola.

Persamaan dari jejak tersebut adalah: z = 0 dan 

·       Irisan (section) grafikpada bidang y = 4 merupakan lingkaran. Persamaan irisannya adalah: y = 4 dan 

a.        Silinder

Silinder adalah suatu permukaan yang dibangun oleh sebuah garis lurus yang bergerak sejajar dengan satu garis tertentu, dan selalu memotong sebuah bidang berupa curva (Carico, 1980).

Berdasarkan definisi ini, dapat dikatakan bahwa silinder adalah suatu bidang lengkung. Bidang lengkung ini merupakan himpunan garis lurus/himpunan titik-titik yang memenuhi syarat syarat tertentu. Setiap garis pada bidang lengkung suatu silinder, yang sejajar dengan garis lurus yang telah dtentukan, dinamakan elemen (element) sillider.

Teorema berikut ini, dapat digunakan untuk mengidentifikasi bidang lengkung silidrik tertentu dari persamaannya.

Teorema

Jika sebuah persamaan terdiri atas dua atau tiga variabel x, y, atau z, grafik di adalah sebuah silinder yang memiliki unsur-unsur sejaran dengan:

·       Sumbu x jika persamaan hanya memuat variabel y dan z,

·       Sumbu y jika persamaan hanya memuat variabel x dan z,

·       Sumbu z jika persamaan hanya memuat variabel x dan y

Persamaan Silinder

Koefisien yang memuat perkalian dua buah variable (D, E, F) pada persamaan

 adalah  nol, sehingga persamaan menjadi 

dengan  maksud untuk mengurangi tingkat kesulitan yang dihadapi. Jika pada persamaan tersebut hanya memuat dua variabel saja maka persamaan tersebut yang berbentuk :

Maka persamaan-persamaan tersebut merupakan persamaan silinder

b.     Bola

Bola adalah himpunan titik-titik (x,y,z) diyang berjarak sama dari satu titik tertentu (Carico, 1980) Titik yang tetap tersebut dinamakan pusat bola, dan jarak yang sama dinamakan jari-jari bola.

c.      Ellipsoida (ellipsoid)

Jejak-jejak (traces) dari suatu bola pada setiap bidang koor-dinat merupakan lingkaran. Suatu bidang lengkung tertentu (bidang lengkung tertutup), yang mempunyai sekurang-ku-rangnya satu trace berupa ellips, dinamakan ellipsoida.

Grafik dengan persamaanadalah ellipsoida yang berpusat pada titik . Bentuk umum persamaan ellipsoida adalah, dengan sekurang-kurangnya satu dari A, B, C tidak sama dengan yang lain dan hasil perkalian dua koefisien ini adalah bilangan positif. Jika D, E, dan F semuanya nol, maka persamaan menjadi  Grafik dari persamaan ini, merupakan ellipsoida yang mempunyai pusat titik asal (origin) dan sumbu simetri dan

d.     Paraboloida (Paraboloid)

Grafik dengan persamaan  adalah sebuah parboloida yang berpuncak di O (0,0).

e.      Hiperboloida (hyperboloid)

·       Grafik dengan persamaanadalah hiperboloid satu daun dengan sumbu mayor sumbu z.

·       Grafik dengan persamaanadalah hiperboloid dua daun dengan sumbu mayor sumbu z.

·       Grafik dengan persamaanadalah sebuah hiperbolic paraboloid.

·       Grafik dengan persamaanadalah kerucut dengan sumbu mayor adalah sumbu z.

Bentuk umum persamaan ellips,dengan sekurang-kurangnya satu dari hasil perkalian dua koefisienadalah bilangan negatif.

Contoh:

Tentukan persamaan bidangnya!

Penyelesaian:

Jadi, persamaan tersebut adalah persamaan bentuk hiperbola berdaun satu.